En vakker gest

Slik skal det gjøres: Et solid grep.

Her er en av disse dagligdagse tingene som vi ikke ser magien i før vi tenker over dem: Strekk ut armen og grip en kopp kaffe. Skulder, albue, håndledd og fingerledd bøyes med forskjellige vinkelhastigheter og i ulike retninger, alt er synkronisert med vidunderlig presisjon slik at hånden beveger seg mot målet i rett linje og fingrene former seg sikkert rundt koppen. Fenomenet er fascinerende i seg selv, og viktig å forstå for både medisinere og robotforskere. Det er stor forskningsaktivitet på feltet.

Jeg har hengt meg litt opp i et lite spørsmål her. Knyt hånden, og åpne den igjen, som om du skal slippe ut et lite insekt du har fanget. Det er en vakker, elegant bevegelse. Det innerste leddet i hver finger åpner seg ganske langsomt, slik at det neste leddet beveger seg i en sirkelbue. Dette neste leddet åpner seg noe raskere, og er selv sentrum for sirkelbevegelsen til leddet utenfor der igjen. Fingertuppen beveger seg dermed i en kurve som kan beskrives som en sum av roterende vektorer.  De ptolemeiske astronomene brukte akkurat slike episykler for å beskrive banen til planetene i det geosentriske verdensbildet.

Men hvilken kurve følger så fingertuppen når du åpner hånden? Her er det stor forvirring i litteraturen. Mange har sagt at kurven er en logaritmisk spiral, altså at radien øker eksponensielt med rotasjonsvinkelen rundt et gitt punkt, som i et snegleskall. Det finnes eksperimentelle data som passer noenlunde med dette, men det er andre kurver som også kan tilpasses dataene, og jeg synes ikke vi kan si så mye om saken før vi har en slags teori, ikke sant.

Hånden danner hele tiden et sirkelsegment mens den folder seg ut. Hvilken kurve følger da fingertuppen (tykk grå pil)? Fra Littler 1973 (copyright klarert).

Det finnes en klassisk artikkel om dette fra 1973 av en fyr som het Littler. «On the adaptability of Man’s hand» heter den. Det er et flott, men underlig lite stykke arbeid. Uten noen som helst begrunnelse, data eller utregning kommer Littler med den ene interessante påstanden etter den andre, som senere er blitt ansett som fakta i andre publikasjoner. En av disse påstandene er at fingertuppen beveger seg i en logaritmisk spiral når du åpner hånden. Tja. Jeg bet meg merke i den nydelige, rare tegningen til høyre.

Som du ser tenker Littler seg at hånden hele tiden danner en del av en sirkel med økende radius. Det ville jo ikke være så dumt dersom vi er laget for å gripe rundt runde ting, som greiner når vi klatrer, verktøy eller flaggstenger (jf. bildet øverst i artikkelen). Se på hånden din en gang til mens du åpner den. Det er litt riktig, ikke sant? Ser ganske sirkelformet ut? Så da tenkte jeg. At hvis vi antar at pekefingeren prøver å beskrive et sirkelsegment hele tiden, og fingeren er like lang hele tiden (det er den jo), og basis av fingeren står i ro, og hvis vi i tillegg gjør den abstraksjonen at fingeren ikke består av tre rette biter men beskriver et kontinuerlig sirkelsegment, hvilken kurve vil fingertuppen da følge? Blir det en logaritmisk spiral, som Littler påstod? Etter litt enkel regning finner man svaret, og svaret er nei. Nesten, men ikke helt. Så Littler tok feil. Hvis vi virkelig (ideelt sett) holder fingrene som sirkelsegmenter, kan ikke pekefingeren beskrive en perfekt logaritmisk spiral, ikke en gang hvis vi ser bort fra at vi bare har et endelig antall ledd. Det blir faktisk en såkalt hyperbolsk spiral, men hvor senter i spiralen er i bevegelse.

Så da vet vi det til neste gang, hva. Du leste det her først.